Suite de Farey

 La seconde propriété fondamentale des suites de Farey est que l'on peut facilement déterminer la première fraction à venir s'intercaler entre deux voisines:

Si ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans la suite d'ordre ${\displaystyle \max(b,b')}$ et si ${\displaystyle c/d}$ est la fraction médiane:

${\displaystyle {\frac {c}{d}}={\frac {a+a'}{b+b'}}}$

alors les fractions ${\displaystyle a/b,}$ ${\displaystyle c/d}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans la suite d'ordre ${\displaystyle b+b'.}$

Par exemple si on reprend les deux fractions ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ voisines dans ${\displaystyle F_{5},}$ on a vu que la première fraction à s'intercaler est ${\displaystyle 5/8}$ qui est bien la médiane.

Interprétation géométrique de la médiane de deux fractions

L'emploi du terme médiane s'explique géométriquement : on se place dans le plan euclidien, on nomme ${\displaystyle O}$ l'origine du repère ; à la fraction ${\displaystyle a/b}$ on associe le point ${\displaystyle A}$ de coordonnées ${\displaystyle (b,a)}$ ; ainsi ${\displaystyle a/b}$ est la pente de la droite du plan ${\displaystyle (OA)}$ issue de ${\displaystyle O}$ et passant par ${\displaystyle A.}$ Si ${\displaystyle A'}$ est le point de coordonnées ${\displaystyle (b',a')}$ associé à la fraction ${\displaystyle a'/b'}$alors le milieu de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A'}$ a pour coordonnées ${\displaystyle (b+b')/2}$ et ${\displaystyle (a+a')/2}$ ; on voit que la fraction médiane ${\displaystyle (a+a')/(b+b')}$ est alors la pente de la médiane issue de ${\displaystyle O}$ du triangle ${\displaystyle (OAA').}$

La propriété se démontre en utilisant la caractérisation des fractions voisines vue précédemment; de plus sous les hypothèses ci-dessus, notamment que ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont irréductibles, la fraction médiane ${\displaystyle (a+a')/(b+b')}$ est automatiquement irréductible également.

La médiane est parfois également appelée somme du cancre ce qui est trompeur car, comme le produit en croix, elle dépend des représentations des fractions. Si on reprend l'exemple du produit en croix on a: ${\displaystyle 3/5=9/15}$ et ${\displaystyle 2/3=4/6}$. Dans ce cas, on voit que les médianes de ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$, d'une part, et de ${\displaystyle 9/15}$ et ${\displaystyle 4/6}$ d'autre part (égales respectivement à ${\displaystyle 5/8}$ et ${\displaystyle 13/21}$), ne sont pas égales. Comme pour le produit en croix on se restreindra à ne calculer les médianes que lorsque les fractions sont en forme irréductible de façon à lever toute ambiguïté.

La propriété admet une réciproque : si ${\displaystyle a/b,}$ ${\displaystyle c/d}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans une suite d'ordre ${\displaystyle n}$, alors ${\displaystyle c/d}$ est la médiane de ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ ; il se peut toutefois, lorsque ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ ne sont pas voisines, que cette fraction médiane ne soit pas irréductible. Par exemple si on considère les trois fractions ${\displaystyle 3/5,}$ ${\displaystyle 2/3}$ et ${\displaystyle 5/7}$ qui sont consécutives dans la suite ${\displaystyle F_{7}}$ la fraction médiane de ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 5/7}$ est ${\displaystyle 8/12}$ qui n'est pas irréductible mais redonne ${\displaystyle 2/3}$ après simplification. De fait ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 5/7}$ ne sont voisines dans aucune suite.

Il existe également une caractérisation du voisinage en termes de fraction continue : si ${\displaystyle a/b}$ admet le développement en fraction continue :

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n},1]}$

alors ses deux voisines dans la suite d'ordre ${\displaystyle b}$ ont pour développement en fraction continue :

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}]}$

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1}]}$

Ainsi ${\displaystyle 3/8}$ a pour développement en fraction continue ${\displaystyle [0,2,1,1,1],}$ et ses voisines dans ${\displaystyle F_{8}}$ sont ${\displaystyle 2/5}$ qui admet le développement ${\displaystyle [0,2,1,1]}$ et ${\displaystyle 1/3}$ qui se développe en ${\displaystyle [0,2,1].}$

La propriété de la médiane est à la base de la construction de l'arbre de Stern-Brocot, une structure énumérant les fractions irréductibles obtenue en itérant l'opération de médiane à partir de 0 (= ${\displaystyle 0/1}$) et l'infini (= ${\displaystyle 1/0}$)

Suite de Farey — Wikipédia (wikipedia.org)

avec PI 

22/7 +333/106 =... = 355/113