suites

1+3+5+..+(2n-1)= n²
durée
1³+2³+..+n³=[n(n+1)/2]^{2
matière , contenu}

u(n)=n²(n+1)/2 et v(n)=n²(n-1)/2.
On a u(n)-v(n)=n² et u(n)+v(n)=n³

On considère la somme des nombres impairs (2k-1) pour k allant de v(n)+1 à u(n).
 Cette somme s'écrit:
(2*v(n)+1)+...+(2*u(n)-1).
Il y a u(n)-v(n)=n² termes et la moyenne entre le premier et le dernier est u(n)+v(n)=n³.
 La somme est donc égale à: n³*n²= n⁵.

1=1⁵

5+7+9+11=2⁵ (4 termes)

19+..+35=3⁵ (9 termes)

49+51+..+79=4⁵ (16 termes)

101+103+..+149=5⁵ (25 termes)


La source de cette question est une note du professeur Etienne Midy dans les Nouvelles annales de mathématiques (tome 5, 1846, pp. 640-646). (Numérisé). La même année à l'Académie des sciences, il y a plusieurs notes à ce sujet. Mais ce résultat sur la suite des impairs est très ancien. Dans l'Encyclopédie méthodique [Mathématiques, tome II, 197-199, publié en 1785], Jean-Joseph Rallier des Ourmes (1701-1771) écrit (dans la langue de l'époque):

"Si l'on conçoit les nombres impairs rangés par ordre à la fuite l'un de l'autre, il réfulte une progression arithmétique indéfinie, dont le premier terme eft 1, & la différence 2: c'eft ce qu'on nomme la fuite des impairs.

Cette fuite a une propriété remarquable relative à la formation des puiffances; mais qui n'a jufqu'ici, du moins que nous fachions, été connue ni développée qu'en partie. La voici dans toute fon étendue.

A toute puissance numérique d'une racine r & d'un exposant e quelconques, répond, dans la fuite générale des impairs, une fuite fubalterne des termes consécutifs, dont la fomme eft cette puiffance même.


Il s'agit d'en déterminer généralement le premier terme p, & le nombre de termes n."