mardi 17 mai 2011

Tenseur de RICCI



Les salades et mon chat n'ont pas besoin des tenseurs de RICCI pour exister, vivre, mourir, procréer .


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Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.
Il peut s'exprimer notamment à partir des symboles de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.
D'un point de vue mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein2.
Les symboles de Christoffel s'expriment par :
{\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} + \partial_{\beta}g_{\alpha\delta} - \partial_{\delta}g_{\alpha\beta})
Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe – qui n'est pas toujours une ligne droite :
\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm ds^2}+{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \frac{\mathrm dx^\beta}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^\gamma}{\mathrm ds}=0
Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel :
{R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} = \partial_{\alpha} {\Gamma^\delta}_{\beta\gamma} - \partial_{\beta} {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} + {\Gamma^\delta}_{\alpha\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\beta\gamma} - {\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma}
Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction :
R_{\alpha\beta}={R^\gamma}_{\alpha\beta\gamma}
Par la suite, la courbure scalaire se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :
R = gαβRαβ
La divergence du tenseur d'Einstein R^{\alpha\beta} - \tfrac{1}{2} g^{\alpha\beta} R est nulle :
\left[R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R\right]_{\alpha\beta} = 0
Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.
C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

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Merci pour vos remarques sur ce domaine ,complexe en compréhension, qui heurte nos habitudes : (chiffre et nombre et base de numération) :